乐乐课堂高二数学导数(乐乐课堂数学高二曲线)

高二文科数学导数公式知识点归纳

导数在高中数学考试中常常会遇到，同学们学习导数内容的时候要记住相关的公式。下面我给大家带来高二文科数学导数公式知识点，希望对你有帮助。

高二文科数学导数公式

1.①

②

③

2. 原函数与反函数导数关系(由三角函数导数推反三角函数的)：y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'.

3. 复合函数的导数：

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

4. 变现积分的求导法则：

(a(x),b(x)为子函数)

导数的计算

计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

高二文科数学导数的求导法则

求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

求导的线性性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。

两个函数的乘积的导函数，一导乘二+一乘二导。

两个函数的商的导函数也是一个分式。(子导乘母-子乘母导)除以母平方

复合函数的求导法则

如果有复合函数，那么若要求某个函数在某一点的导数，可以先运用以上 方法 求出这个函数的导函数，再看导函数在这一点的值。

高二文科数学高阶求导

高阶导数的求法

1.直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。

一般用来寻找解题方法。

2.高阶导数的运算法则：

(二项式定理)

3.间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换等方法。

注意：代换后函数要便于求，尽量靠拢已知公式求出阶导数。

求导方法

链导法

四则法

反导法

对数求导法

口诀

为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：

常为零，幂降次

对倒数(e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna)

指不变(特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna)

正变余，余变正

切割方(切函数是相应割函数(切函数的倒数)的平方)

高二导数教案

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。下面是我为您整理的关于高二导数教案的相关资料，欢迎阅读！

高二导数教案 例1

教学准备

1. 教学目标

(1)理解平均变化率的概念.

(2)了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.

(3)理解导数的概念

(4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率.

2. 教学重点/难点

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解

教学难点：会求简单函数y=f(x)在x=x0处的导数

3. 教学用具

多媒体、板书

4. 标签

教学过程

一、创设情景、引入课题

【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【板演/PPT】

【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

【板演/PPT】

让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

【设计意图】自然进入课题内容。

二、新知探究

[1]变化率问题

【合作探究】

探究1 气球膨胀率

【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是

如果将半径r表示为体积V的函数,那么

【板演/PPT】

【活动】

【分析】

当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(1)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为

0.620.16

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.

【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

解析：

探究2 高台跳水

【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

(请计算)

【板演/PPT】

【生】学生举手回答

【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。

【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

【设计意图】两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。

探究3 计算运动员在

这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:

(1)运动员在这段时间里是静止的吗?

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

【板演/PPT】

【生】学生举手回答

【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.

【活动】师生共同归纳出结论

平均变化率:

上述两个问题中的函数关系用y=f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子

我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.

习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)

这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2

同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：

【几何意义】观察函数f(x)的图象，平均变化率的几何意义是什么?

探究2 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?

从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.

从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.

为了表述方便，我们用xx表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.

【瞬时速度】

我们用

表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.

局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻 的瞬时速度?

【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t=2秒时的瞬时速度。

探究3:

(1).运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?

(2).函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?

导数的概念:

一般地，函数 y = f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率是

称为函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数, 记作

或,

【总结提升】

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:

[3]例题讲解

例题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 y=f (x) = x2–7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是

在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.

高二导数教案 例2

【学习要求】

1.能根据定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=1x的导数.

2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

【学法指导】

1.利用导数的定义推导简单函数的导数公 式，类推 一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想.通过定义求导数的过程，培 养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣.

2.本节公式是下面几节课的`基础，记准公式是学好本章内容的关键.记公式时，要注意观察公式之间的联系，如公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例.公式5与公式7中ln a的位置的不同等.

1.几个常用函数的导数

原函数 导函数

f(x)=c f ′(x)=

f(x)=x f′(x)=

f(x)=x2 f′(x)=

f(x)=1x

f′(x)=

f(x)=x

f′(x)=

2.基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)=c f′(x)=

f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=

f(x)=sin x f′(x)=

f(x)=cos x f′(x)=

f(x)=ax f′(x)= (a0)

f(x)=ex f′ (x)=

f(x)=logax

f′(x)= (a0且a≠1)

f(x)=ln x f′(x)=

探究点一 几个常用函数的导数

问题1 怎样 利用定义求函数y=f(x)的导数?

问题2 利用 定义求下列常用函数的导数：(1)y=c (2)y=x (3)y=x2 (4)y=1x (5)y=x

问题3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.(1)函数y =f(x)=c(常数)的导数的物理意义是什么?

(2)函数y=f(x)=x的导数的物理意义呢?

问题4 画出函数y=1x的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.

探究点二 基本初等函数的导数公式

问题1 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题?

问题2 你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗?

例1 求下列函数的导数：(1)y=sinπ3;(2)y=5x;(3)y=1x3;(4)y=4x3; (5)y =log3x.

跟踪1 求下列函数的导数：(1)y=x8;(2)y=(12)x;(3)y=xx;(4)y=

例2 判断下列计算是否正确.

求y=cos x在x=π3处的导数，过程如下：y′| = ′=-sin π3=-32.

跟踪2 求函数f(x)=13x在x=1处的导数.

探究点三 导数公式的综合应用

例3 已知直线x-2y-4=0与抛物线 y2=x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P，使△ABP的面积最大.

跟踪3 点P是曲线y=ex上任意一点，求点P到直线y=x的最小距离.

【达标检测】

1.给出下列结论：①若y=1x3，则y′=-3x4;②若y=3x，则y′=133x;

③若y=1x2，则y′=-2x-3;④若f(x)=3x，则f′(1)=3.其中正确的个数是 (  )

A.1 B.2 C.3 D.4

2.函数f(x)=x，则f′(3)等于 (  )

A.36 B.0 C.12x D.32

3.设正弦曲线y=sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是 (  )

A.[0，π4]∪[3π4，π) B.[0，π) C.[π4，3π4] D.[0，π4]∪[π2，3π4]

4.曲线y=ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.

高二数学 导数的简单 几种形式推导

导数定义：

ƒ'(x) = lim(Δx→0) [ƒ(x + Δx) - ƒ(x)]/Δx

则ƒ'(x₀) = lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx，其中Δx可以是负数，或者一个式子，总之要趋向0

对于①：

lim(Δx→0) [ƒ(x₀) - ƒ(x₀ - 2Δx)]/(2Δx)

= lim(Δx→0) - [ƒ(x₀ - 2Δx) - ƒ(x₀)]/(2Δx)

= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ - 2Δx) - ƒ(x₀)]/(- 2Δx)，若令Δu = - 2Δx

= lim(Δu→0) [ƒ(x₀ + Δu) - ƒ(x₀)]/Δu

= ƒ'(x₀)

对于②：

lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀ - Δx)]/Δx

= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀) - ƒ(x₀ - Δx) + ƒ(x₀)]/Δx

= lim(Δx→0) {[ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)] - [ƒ(x₀ - Δx) - ƒ(x₀)]}/Δx

= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx - lim(Δx→0) [ƒ(x₀ - Δx) - ƒ(x₀)]/Δx

= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx + lim(- Δx→0) [ƒ(x₀ - Δx) - ƒ(x₀)]/(- Δx)

= ƒ'(x₀) + ƒ'(x₀)

= 2ƒ'(x₀)

对于③：

lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀ + Δx)]/Δx

= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀) - ƒ(x₀ + Δx) + ƒ(x₀)]/Δx

= lim(Δx→0) {[ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀)] - [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]}/Δx

= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀)]/Δx - lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx

= 2lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀)]/(2Δx) - lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx

= 2ƒ'(x₀) - ƒ'(x₀)

= ƒ'(x₀)

对于④：

lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀ - 2Δx)]/Δx

= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀) - ƒ(x₀ - 2Δx) + ƒ(x₀)]/Δx

= lim(Δx→0) {[ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)] - [ƒ(x₀ - 2Δx) - ƒ(x₀)]}/Δx

= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx - lim(Δx→0) [ƒ(x₀ - 2Δx) - ƒ(x₀)]/(- 2Δx) • (- 2)

= ƒ'(x₀) + 2ƒ'(x₀)

= 3ƒ'(x₀)

只有①③正确。