抛物线的标准方程乐乐课堂视频(抛物线的定义乐乐课堂)

抛物线所有公式总结是什么？

抛物线所有公式总结是如下：

一般式：ax²+bx+c(a、b、c为常数，a≠0）。

顶点式：y=a(X-h）2+k（a、h、k为常数，a≠0）。

交点式（两根式）：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）。

其中抛物线y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）与x轴交点坐标，即方程aX2+bX+c=0的两实数根。

抛物线标准方程：

右开口抛物线：y^2=2px。

左开口抛物线：y^2= -2px。

上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2（a大于等于0）。

下开口抛物线：x^2= -2py y=ax^2（a小于等于0）。

[p为焦准距（p0）］。

乐乐课堂抛物线的定义

抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。

它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。

“直线”是抛物线的平行线，并通过焦点。抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。任何抛物线都可以重新定位并重新定位，以适应任何其他抛物线 - 也就是说，所有抛物线都是几何相似的。

性质

抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)。

抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

什么是抛物线

抛物线方程是指抛物线的轨迹方程，是一种用方程来表示抛物线的方法[1]。在几何平面上可以根据抛物线的方程画出抛物线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

中文名

抛物线方程

外文名

parabolic equation

应用学科

数学

适用领域范围

数学、物理、建筑学等

解释

指抛物线的轨迹方程

定义

抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线，定点F不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e=1时为抛物线，当0e1时为椭圆，当e1时为双曲线[2] 。

方程

抛物线的标准方程有四种形式，参数p的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：其中P(x0,y0)为抛物线上任一点[3] 。

标准方程

y^2=2px（p0）

y^2=-2px（p0）

x^2=2py（p0）

x^2=-2py（p0）

图形

范围

x≥0，y R

x≤0，y R

y≥0，x R

y≤0，x R

展开全部

对于抛物线y^2=2px(p≠0)上的点的坐标可设为( ,y0)，以简化运算。

抛物线的焦点弦：设过抛物线y^2=2px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2），直线OA与OB的斜率分别为k1,k2，直线l的倾斜角为α，则有y1y2=-p^2，x1x2= ，k1k2=-4，|OA|= ,|OB|= ,|AB|=x1+x2+p。

几何性质

方程的具体表达式为y=ax^2+bx+c

⑴a 0

⑵a0，则抛物线开口朝上；a0，则抛物线开口朝下；

⑶极值点（顶点）：（ ， ）；

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ0，图象与x轴交于两点：

（ ，0）和（ ，0）；

Δ=0，图象与x轴交于一点：

（ ，0）；

Δ0，图象与x轴无交点；

(5)对称轴(顶点)在y 轴 左侧时 , a ,b 同号 ,对称轴 (顶点 ) 在 y 轴右侧时,a 、b 异号；对称轴(顶点)在y轴上时, b=0，抛物线的顶点在原点时, b=c=0。

(6)当x=0时，可通过与y轴交点判断c值，即若抛物线交y轴为正半轴，则c0；若抛物线交y轴为负半轴，则c0[4] 。

抛物线方程

抛物线标准方程是：y²=2px（p0）；y²=-2px（p0）；x²=2py（p0）；x²=-2py（p0）。

它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

抛物线的几何性质：

1、设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。

2、过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。〈为性质（1）第二部分的逆定理〉从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。

3、设抛物线上一点P（P不是顶点）的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。这个性质可以推出抛物线的光学性质，即经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。

抛物线标准方程式

希望这些能帮助你学习 1．理解障碍 (1)对抛物线定义的理解 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．抛物线的定义可以从以下几个方面理解、掌握： (i)抛物线的定义还可叙述为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线．”这样与椭圆、双曲线有统一的第二定义． (ii)定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1． (iii)定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．如，到点F(1，0)和到l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，轨迹是一条直线． (2)对抛物线标准方程的理解 抛物线标准方程的特点在于：等号一边是某变元的完全平方，等号另一边是另一变元的一次项，这种形式和它的位置特征相对应．若对称轴为x轴，方程中的一次项就是x的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即：开口向右时，该项取正号；开口向左时，该项取负号． 若对称轴为y轴，则方程中的一次项就是y的一次项，且符号指示了抛物线的开口方向，即：开口向上时，该项取正号；开口向下时，该项取负号． 2．解题障碍 (1)对抛物线定义应用不够灵活 抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可以相互转化，这一转化在解题中有着重要作用． (2)对标准方程的应用不准确 由于抛物线标准方程有四种，在应用时易混淆．故需加强对标准方程的感性认识，记准标准方程与抛物线之间的对应关系． 【学习策略】 1．定义的应用 由于当定点在定直线上时，到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹为一条直线而不是抛物线，故利用定义判断轨迹时应先验证定点是否在定直线上． 定义在抛物线题目中有着广泛的应用，要注意定义的转化作用的应用． 2．待定系数法 尽管抛物线标准方程有四种，但方程中都只有一个待定系数，一是利用好参数p的几何意义，二是给抛物线定好位，即求抛物线方程也遵循先定位，后定量的原则． 3．统一方程 对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，即不必事先限定a的正负，也就是说，不必设为y2＝2px或y2＝－2px(p0)，这样能减少计算量．同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一设为x2＝ay(a≠0)． 【例题分析】 〔例1〕求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3，2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上． 策略：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式． 解：(1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(y0)，将点(－3，2)代入方程得2p＝ 或2p＝ ， ∴所求抛物线方程为y2＝－ x或x2＝ y． (2)令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2． ∴抛物线的焦点为F(0，－2)． 设抛物线方程为x2＝－2py，则由 ＝2，得2p＝8， ∴所求的抛物线方程为x2＝－8y． 或令y＝0，由x－2y－4＝0得x＝4，∴抛物线焦点为F(4，0)． 设抛物线方程为y2＝2px，由 ＝4得p＝8．则所求方程为y2＝16x． 总之，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x． 评注：此两小题都有两解，注意不要丢解．做题前可先画草图，全面考查已知条件．本题都采用了待定系数法求解，要注意解题方法和技巧．

什么是标准抛物线

抛物线及标准方程

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

总分

一

二

三

一,选择题(共48题,题分合计240分)

1.椭圆与抛物线y2=6x-9的公共点的个数是

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

2.经过点P(4,-2)的抛物线标准方程为

A.或 B.或 C. D.

3.抛物线x2=4a y的准线方程为

A. x= -a B. x=a C. y= -a D. y=a

4.焦点在直线3x - 4y -12=0上的抛物线标准方程为

A.或 B.或

C.或 D.或

5.已知动点M的坐标满足方程,则动点M的轨迹是

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对

6.抛物线y2= -4 px (p0)的焦点为F,准线为l,则p表示

A.F到l的距离 B.F到y轴的距离 C.F点的横坐标 D.F到l的距离的

7.抛物线(a≠0)的焦点坐标是

A.(0,)或(0,-) B.(0,) C.(0,)或(0,-) D.(0,)

8.焦点是(-5,0)的抛物线标准方程是

A. B. C. D.

9.已知抛物线的方程为标准方程,焦点在x轴上,其上点P(-3,m)到焦点距离为5,则抛物线方程为

A.y2=8 x B.y2= -8 x C.y2=4 x D.y2=-4 x

10.抛物线y2=4 x上一点P到焦点F的距离是10,则P点的坐标是

A.(±6,9) B.(9,±6) C.(9,6) D.(6,9)

11.抛物线y2=9x与直线2x-3y-8=0交于M N两点,线段MN中点坐标为

A.() B.() C.() D.()

12.动点P到点A(0,2)的距离比到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为

A.y2=4 x B.y2=8 x C.x2=4 y D.x2=8 y

13.已知直线l与抛物线y2=8 x 交于A,B两点,且l经过抛物线的焦点F,A点的坐标为(8,8),则线段AB的中点到准线的距离是

A. B. C. D.25

14.已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是

A. y2=16 x B. x2= -8 y C. y2=8 x或x2= -8 y D. y2=8 x或x2= 8 y

15.直线y=kx-2与抛物线y2=8 x 交于A,B两点,且AB的中点横坐标为2,则k的值是

A.-1 B.2 C.-1或2 D.以上都不是

16.动圆M经过点A(3,0)且与直线l:x=-3相切,则动圆圆心M的轨迹方程是

A.y2=12 x B.y2=6 x C.y2=3 x D.y2=24 x

17.顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-2,3),则它的方程是

A.或 B.或 C. D.

18.以x轴为对称轴,抛物线通径的长为8,顶点在坐标原点的抛物线的方程是

A.y2=8 x B.y2= -8 x C.y2=8 x或y2= -8 x D.x2=8 y或x2= -8 y

19.抛物线x2=-4y的通径为AB,O为抛物线的顶点,则

A.通径长为8,△AOB的面积为4 B.通径长为-4,△AOB的面积为2

C.通径长为4,△AOB的面积为4 D.通径长为4,△AOB的面积为2

20.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则

A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点

C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点

21.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是

A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2

22.边长为1的等边三角形AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是

A. B. C. D.

23.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则的最的小值是

A.2 B.3 C.4 D.0

24.抛物线顶点在坐标原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长为16,则抛物线方程为

A. B. C. D.

25.若抛物线y2=2px(p0)上横坐标为6的点到焦点的距离为8,则焦点到准线的距离为

A.1 B.2 C.4 D.6

26.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P是抛物线上一动点,则取得最小值时点P的坐标是

A.(0,0) B.(1,1) C.(2,2) D.(,1)

27.顶点在点(1,3),焦点与顶点的距离为,准线平行于y轴,开口向右的抛物线的方程是

A.y-3=(x-1)2 B.(x-1)2=(y-3) C.(y-3)2=(x-1) D.x-1=(y-3)2

28.如果抛物线y2-mx-2y+4m+1=0的准线与双曲线x2-3y2=12的左准线重合,则m的值为

A.28 B.14 C.-2 D.4

29.抛物线y=4ax2(a0)的焦点坐标是

A.(,0) B.(0,) C.(0,-) D.(,0)

30.抛物线y=2x的焦点坐标是

A.(1,0) B.() C.(0,) D.(0,)

31.如果抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y-12=0上,则抛物线方程是

A.y B.y C.y D.y

32.焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是

A.y2=8(x+1) B.y2=-8(x+1) C.y2=8(x-1) D.y2=-8(x-1)

33.一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为

A.抛物线 B.圆 C.双曲线的一支 D.椭圆

34.动点P到直线x+4=0的距离减去它到M(2,0)的距离之差等于2,则点P的轨迹是

A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

35.如果抛物线y2= a (x-2)的焦点坐标是(-1,0),则它的准线方程是

A. x =1 B. x =5 C. y= x D. x =3

36.抛物线顶点在原点,焦点在y轴上,其上一点P(m,1)到焦点距离为5,则抛物线方程为:

A. x2=8y B. x2= -8y C. x2=16y D. x2= -16y

37.已知抛物线的焦点坐标是(2,0),则抛物线的标准方程是

A. B. C. D.

38.已知抛物线的准线方程是x=-7,则抛物线的标准方程是

A. B. C. D.

39.已知抛物线的准线方程是y=-7,则抛物线的标准方程是

A. B. C. D.

40.已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则抛物线的标准方程是

A. B. C. D.

41.已知抛物线的轴为x轴,顶点在原点,焦点在直线2x-4y+11=0上,则此抛物线的方程是

A. y2= -11x B.y2= 11x C.y2= -22x D.y2= 22x

42.抛物线y=8mx2(m0)有一内接直角三角形,直角的顶点在原点,一直角边的方程是y = 2x,斜边长是5,求此抛物线方程.

8.若抛物线的焦点为(2,2),准线方程为x+y-1=0,求此抛物线的方程.

9.已知抛物线的焦点坐标是(-),准线方程是,求抛物线的方程.

10.求以坐标原点为焦点,以直线x+y-1=0为准线的抛物线方程.

11.若抛物线y2=2px(p0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6,求P的横坐标及抛物线方程.

12.过定点A(-2,-1)倾斜角为45°的直线与抛物线y=ax2交于B C,且|BC|是|AB| |AC|的等比中项,求抛物线方程.

13.过定点A(-2,-1)作倾斜角为45°的直线与抛物线y=ax2交于B,C两点,且|BC|是|AB|,|AC|的等比中项,求抛物线方程.

14.一抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,而且抛物线上一点(a,-3)到焦点的距离等于5,求此抛物线的标准方程和a的值.

15.指出抛物线的焦点坐标 准线方程.

(1)x2=4y (2)x=ay2(a≠0)

16.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两点,且AB中点的横坐标为2,求此直线方程.

17.求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.

18.(1)设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3,求k值.

(2)以(1)中的弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P点坐标.

19.已知定直线l及定点A(A不在l上),n为过A且垂直于l的直线,设N为l上任一点,AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对称点为P,求证P的轨迹为抛物线.

20.求顶点在原点,焦点在坐标轴上,过点(2,-8)的抛物线方程,并指出焦点和准线.

21.抛物线y2=4x上有两定点A,B分别在对称轴的上,下两侧,F,O分别为抛物线的焦点和顶点且|AF | =2,|BF | =5,在抛物线的AOB部分上求一点P,使△ABP的面积最大,并求最大面积.

22.

23.如图所示,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等,若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.

抛物线及标准方程答案

一,选择题(共48题,合计240分)

1.5361答案:B

2.6854答案:A

3.6855答案:C

4.6856答案:C

5.6857答案:C

6.6858答案:B

7.6859答案:B

8.6862答案:A

9.6863答案:B

10.6864答案:B

11.6865答案:B

12.6866答案:D

13.6867答案:A

14.6868答案:C

15.6869答案:B

16.6870答案:A

17.6872答案:B

18.6873答案:C

19.6874答案:D

20.6875答案:C

21.6876答案:B

22.6877答案:C

23.6878答案:A

24.6879答案:C

25.6880答案:C

26.6881答案:C

27.5365答案:D

28.5366答案:A

29.6539答案:B

30.6607答案:D

31.6609答案:C

32.6617答案:D

33.6620答案:C

34.6621答案:D

35.6747答案:B

36.6771答案:C

37.6850答案:D

38.6851答案:B

39.6852答案:C

40.6853答案:A

41.6884答案:C

42.6885答案:B

43.6887答案:C

44.6888答案:B

45.6889答案:A

46.6890答案:A

47.6891答案:A

48.6763答案:D

二,填空题(共3题,合计12分)

1.6569答案:

2.6630答案:(0,0)

3.6765答案:③

三,解答题(共23题,合计181分)

1.6871答案:y2=12x或y2=-4x

2.6832答案:(1)准线方程是y=-1.

(2)抛物线的标准方程是y2= -12x.

3.6833答案:点M的轨迹是以(1,1)为焦点,直线x+y+6=0为准线的抛物线

4.6834答案:为所求抛物线的方程.

5.6835答案:点M的轨迹方程x2= -8y.

6.6836答案:抛物线方程为.

a=±4.

7.6837答案:所求的抛物线方程为.

8.6847答案:见注释

9.6860答案:y=ax2+bx+c

10.6861答案:x2-2xy+y2+2x+2y-1=0

11.6882答案:9,y2=4x.或1,y2=36x

12.6883答案:y=x2

13.6828答案:抛物线方程为y=x2.

14.6829答案:所求抛物线方程为x2=-8y.

15.6910答案:(1)准线方程是:y=-1

(2)①当a0时,准线方程是:x=-

②当a0).

第页,共11页

得分

阅卷人

得分

阅卷人

得分

阅卷人