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正态分布的公式及含义

正态分布

normal distribution

一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。 服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。

正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。

from

(一)正态分布

1.正态分布

若 的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）

(3-1)

则称 服从正态分布，记号 ～ 。其中 、 是两个不确定常数，是正态分布的参数，不同的 、不同的 对应不同的正态分布。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。

2．正态分布的特征

服从正态分布的变量的频数分布由 、 完全决定。

(1) 是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以 为对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于 。

(2) 描述正态分布资料数据分布的离散程度， 越大，数据分布越分散， 越小，数据分布越集中。 也称为是正态分布的形状参数， 越大，曲线越扁平，反之， 越小，曲线越瘦高。

(二)标准正态分布

1．标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的μ和σ2为0和1，通常用 （或Z）表示服从标准正态分布的变量，记为 Z～N（0，1）。

2．标准化变换：此变换有特性：若原分布服从正态分布 ，则Z=(x-μ)/σ ～ N(0,1) 就服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。

3. 标准正态分布表

标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X(当前值）范围内的面积比例 。

（三）正态曲线下面积分布

1．实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式3-2计算。

（3-2）

。

2.几个重要的面积比例

轴与正态曲线之间的面积恒等于1。正态曲线下，横轴区间（μ-σ，μ+σ）内的面积为68.27%，横轴区间（μ-1.96σ，μ+1.96σ）内的面积为95.00%，横轴区间（μ-2.58σ，μ+2.58σ）内的面积为99.00%。

（四）正态分布的应用

某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理。其中经对数转换后服从正态分布的指标，被称为服从对数正态分布。

1. 估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式（3-2）估计任意取值 范围内频数比例。

2. 制定参考值范围

（1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。

（2）百分位数法 常用于偏态分布的指标。表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。

表3-1 常用参考值范围的制定

概率

（%） 正态分布法 百分位数法

双侧 单 侧 双侧 单侧

下 限 上 限 下 限 上 限

90

95

99

3. 质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以 作为上、下警戒值，以 作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。

4. 正态分布是许多统计方法的理论基础。 检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。

from

一、正态分布的概念

由表1.1的频数表资料所绘制的直方图，图3.1（1）可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。我们设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图3.1（3）。这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布（normal distribution）。由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。

图3.1频数分布逐渐接近正态分布示意图

为了应用方便，常对正态分布变量X作变量变换。

（3.1）

该变换使原来的正态分布转化为标准正态分布 (standard normal distribution)，亦称u分布。u被称为标准正态变量或标准正态离差（standard normal deviate）。

二、正态分布的特征：

1．正态曲线（normal curve）在横轴上方均数处最高。

2．正态分布以均数为中心，左右对称。

3．正态分布有两个参数，即均数和标准差。是位置参数，当固定不变时，越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴越向左移动。是形状参数，当固定不变时，越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭。通常用表示均数为，方差为的正态分布。用N（0，1）表示标准正态分布。

4．正态曲线下面积的分布有一定规律。

实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概率。正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。对于正态或近似正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。

查附表1应注意：①表中曲线下面积为-∞到u的左侧累计面积；②当已知μ、σ和X时先按式（3.1）求得u值，再查表，当μ、σ未知且样本含量n足够大时，可用样本均数和标准差S分别代替μ和σ，按式求得u值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，④曲线下横轴上的总面积为100%或1。

正态分布曲线下有三个区间的面积应用较多，应熟记：①标准正态分布时区间（-1,1）或正态分布时区间（μ-1σ,μ+1σ）的面积占总面积的68.27%；②标准正态分布时区间（-1.96,1.96）或正态分布区间（μ-1.96σ,μ+1.96σ）的面积占总面积的95%；③标准正态分布时区间（-2.58,2.58）或正态分布时区间（μ-2.58σ,μ+2.58σ）的面积占总面积的99%。如图3.2所示。（μ-3σ）的面积比例为99.74%,(μ-2σ)面积比例为95.44%。

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正态分布函数公式是什么样子的？

标准正态分布函数公式如下图：

标准正态分布函数的性质：

1、密度函数关于平均值对称。

2、函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。

3、函数曲线的反曲点为离平均数一个标准差距离的位置。

4、平均值与它的众数以及中位数同一数值。5、95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。

标准正态分布是以0为均数，以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。标准正态分布在数学、物理及工程等领域都非常重要，在统计学的许多方面也有着重大的影响力。

正态分布也称为高斯分布。客观世界中很多变量都服从或近似服从正态分布，且正态分布具有很好的数学性质，所以正态分布也是人们研究最多的分布之一。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ=0,σ=1时的正态分布是标准正态分布。

什么是正态分布

标准正态分布密度函数公式：

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

图形特征：

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

扩展资料：

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。

若 服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。

（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

面积分布

1、实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。

2、正态曲线下，横轴区间（μ-σ,μ+σ）内的面积为68.268949%。

P{|X-μ|σ}=2Φ（1）-1=0.6826

横轴区间（μ-1.96σ,μ+1.96σ）内的面积为95.449974%。

P{|X-μ|2σ}=2Φ（2）-1=0.9544

横轴区间（μ-2.58σ,μ+2.58σ）内的面积为99.730020%。

P{|X-μ|3σ}=2Φ（3）-1=0.9974

参考资料：百度百科——正态分布

高中数学必修三正态分布知识点

正态分布为高中数学必修三课本的新增内容之一，有哪些知识点需要我们学习呢?下面是我给大家带来的高中数学正态分布知识点，希望对你有帮助。

高中数学必修三正态分布知识点

正态分布的定义：

如果随机变量ξ的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：

x∈R，则称ξ服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中μ表示总体平均数，σ叫标准差，正态分布常用

来表示。

当μ=0，σ=1时，称ξ服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。

叫标准正态曲线。正态曲线

x∈R的有关性质：

(1)曲线在x轴上方，与x轴永不相交;

(2)曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ两旁延伸时无限接近x轴;

(3)曲线在x=μ处达到最高点;

(4)当μ一定时，曲线形状由σ的大小来决定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。

在标准正态总体N(0，1)中：

高中数学必修三二项分布知识点

二项分布：

一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则

k=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并记

独立重复试验：

(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.

(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

此时称随机变量X服从二项分布，记作

并称p为成功概率.

(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.

(4)独立重复试验概率公式的特点：

是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.

二项分布的判断与应用：

(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.

(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

求独立重复试验的概率：

(1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即

2，…，n)是第i次试验的结果.

(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。

求二项分布：

二项分布是概率分布的一种，与独立重复试验密切相关，解题时要注意结合二项式定理与组合数等性质。

高中数学必修三超几何分布知识点

超几何分布：

一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品的件数，那么

(其中k为非负整数)，如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布。

为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布。

超几何分布列特别提醒：

①超几何分布列给出了求解这类问题的方法，可以通过直接运用公式求解.但不能机械地去记忆公式，要在理解的前提下记忆。

②在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同k值时的概率P(X=k)，从而列出X的分布列.

求超几何分布的分布列：